Question

已知函f（x）是偶函數，而且在（0，+∞）上是增函數，判斷f（x）在（-∞，0）上是增函數還是減函數，并證明你的判斷．

Answer 1

解：f（x）在（-∞，0）上是減函數（1分）
證明：設x₁＜x₂＜0則-x₁＞-x₂＞0（3分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數
∴f（-x₁）＞f（-x₂）（7分）
又f（x）是偶函數
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）＞f（x₂）
∴f（x₁）＞f-x₂）
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數（12分）
分析：用單調性定義來證明，先在給定區間上取兩個變量，且界定大小，不妨設x₁＜x₂＜0則有-x₁＞-x₂＞0，
再由“f（x）在（0，+∞）上是增函數”可得到f（-x₁）＞f（-x₂），然后由“f（x）是偶函數”轉化為f（x₁）＞fx₂），再由單調性定義判斷．
點評：本題主要考查奇偶函數在對稱區間上的單調性，結論是：偶函數在對稱區間上的單調性相反，奇函數在對稱區間上的單調性相同．