Question

如圖1，已知的直徑，點、為上兩點，且，，為弧的中點．將沿直徑折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）在弧上是否存在點，使得平面？若存在，試指出點的位置；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求二面角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析;（Ⅱ）在弧上存在點，使得平面，且點為弧的中點；（Ⅲ）;

【解析】

試題分析：（1）以O為坐標原點，以AB所在直線為y軸，以OC所在直線為z軸建立空間直角坐標系，求出向量與的坐標，利用向量共線的坐標表示求證OF∥AC，從而說明線面平行；（2）假設(shè)在弧上存在點G，使得FG∥平面ACD，根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標（含有參數(shù)），然后由向量的模等于圓的半徑求出G點坐標；（3）根據(jù)，∠DAB=60°求出D點坐標，然后求出平面ACD的一個法向量，找出平面ADB的一個法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值．
試題解析：（法一）：證明：（Ⅰ）連接，

，，

又為弧的中點，，．

（Ⅱ）取弧的中點，連接，

則，故

由（Ⅰ），知平面，故平面平面，

則平面，因此，在弧上存在點，使得平面，且點為弧的中點．

（Ⅲ）過作于，連．

因為，平面平面，故平面．

又因為平面，故，所以平面，，

則是二面角的平面角，又，，故．

由平面，平面，得為直角三角形，

又，故，可得==，故二面角的正弦值為.

（法二）：證明：（Ⅰ）如圖，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以為原點，作空間直角坐標系，則，

，

點為弧的中點，點的坐標為，

，，即．

（Ⅱ）設(shè)在弧上存在點，使得平面，

由（Ⅰ），知平面，平面平面，則有．

設(shè)，，．又，

，解得(舍去)．，則為弧的中點．

因此，在弧上存在點，使得平面，且點為弧的中點．

（Ⅲ），點的坐標，．

設(shè)二面角的大小為，為平面的一個法向量．

由有即

取，解得，．，取平面的一個法向量，

，故二面角的正弦值為.

考點：1.空間中直線與直線位置關(guān)系的判定；2.直線與平面平行的判定；3.二面角的平面角及求法．.