Question

已知圓C：x²+y²-6x-4y+4=0，直線l₁被圓所截得的弦的中點為P（5，3）．
①求直線l₁的方程．
②若直線l₂：x+y+b=0與圓C相交，求b的取值范圍．
③是否存在常數b，使得直線l₂被圓C所截得的弦的中點落在直線l₁上？若存在，求出b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：①∵圓C的方程化標準方程為：（x-3）²+（y-1）²=9，
∴圓心C（3，2），半徑r=3．設直線l₁的斜率為則k，則
．
∴直線l₁的方程為：y-3=-2（x-5）即2x+y-13=0．
②∵圓的半徑r=3，
∴要使直線l₂與圓C相交則須有：，
∴于是b的取值范圍是：．
③設直線l₂被圓C解得的弦的中點為M（x_°，y_°），則直線l₂與CM垂直，于是有：，整理可得：x_°-y_°-1=0．
又∵點M（x_°，y_°）在直線l₂上，
∴x_°+y_°+b=0
∴由解得：代入直線l₁的方程得：，
∴，
故存在滿足條件的常數b．
分析：（1）設直線l₁的斜率為則k，由題意可得圓心C（3，2），又弦的中點為P（5，3），可求得k_PC=，由k•k_PC=-1可求k，從而可求直線l₁的方程；
（2）若直線l₂：x+y+b=0與圓C相交，圓心到直線l₂的距離小于半徑，從而可求得b的取值范圍；
（3）設直線l₂被圓C解得的弦的中點為M（x_°，y_°），由直線l₂與CM垂直，可得x_°-y_°-1=0，與x_°+y_°+b=0聯立可求得x₀，y₀，代入直線l₁的方程，求得b，驗證即可．
點評：本題考查直線和圓的方程的應用，著重考查通過圓心到直線間的距離與圓的半徑的大小判斷二者的位置關系，屬于中檔題．