Question

已知橢圓E的方程為：+=1（a＞b＞0）的右焦點坐標為（1，0），點P（1，）在橢圓E上．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過橢圓E的頂點A作兩條互相垂直的直線分別與橢圓E交于（不同于點A的）兩點M，N．
問：直線MN是否一定經過x軸上一定點？若是，求出定點坐標，不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）右焦點為（1，0），點P（1，）在橢圓E上，2a=|PF₁|+|PF₂|=，
由此能求出橢圓方程．
（II）設直線AM方程為y=k（x+2），由，解得，同理，得N（），
若，則得k²=1，即直線MN的方程為，此時過x軸上一點Q（-），由此能導出直線MN過x軸上一定點Q（-）．
解答：解：（I）∵右焦點為（1，0），∴c=1，左焦點為（-1，0），點P（1，）在橢圓E上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=，
∴，
∴橢圓方程為．
（II）設直線AM方程為y=k（x+2），
則有，整理，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
解得，同理，得N（），
若，則得k²=1，即直線MN的方程為
，此時過x軸上一點Q（-）（10分）
當k²≠1時，假設直線MN過x軸上一定點Q（m，0），則有，
，，則由，
解得m=-，
所以直線MN過x軸上一定點Q（-）（12分）．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．