Question

已知二次函數(shù)
（I）若f（x）滿足條件f（1-x）=f（1+x），試求f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值為h（a），試求h（a）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用條件得對(duì)稱軸方程求得a，即可求 f（x）的解析式；
（II）由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對(duì)稱軸的位置有關(guān)，于是需要對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論．
解答：解：（I）∵f（x）滿足條件f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）圖象的對(duì)稱軸是x=1，
即：，a=1，∴f（x）的解析式為：x²-x-1；
（II）∵f（x）圖象的對(duì)稱軸是x=＞0，
①當(dāng)0＜＜時(shí)，即a時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間上為增函數(shù)
當(dāng)x=時(shí)，該函數(shù)取最小值h（a）=-；
②當(dāng)≤≤2時(shí)，即a時(shí)，
當(dāng)x=時(shí)，該函數(shù)取最小值h（a）=--a；
③當(dāng)＞2時(shí)，即a時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間上為減函數(shù)
當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)取最小值h（a）=a-2；
綜上，函數(shù)的最小值為 （8分）
當(dāng)a=時(shí)h（a）_max=（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，考查學(xué)生的分類討論思想，二次函數(shù)最值問(wèn)題的求解，考查學(xué)生最值問(wèn)題的求法．