Question

已知f（x）=a^2x-2a^x+1+2，（a＞0，a≠1）的定義域為[-1，+∞）．
（Ⅰ）若a=2，求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）當0＜a＜1時，若f（x）≤3對x∈[-1，2]恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析：（I）換元，轉化為二次函數，利用配方法可求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）換元，分離參數，求最大值，即可求a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）若a=2，f（x）=2^2x-4×2^x+2，x∈[-1，+∞）
令t=2^x，g（t）=f（x）=t²-4×t+2=（t-2）²-2，
∵t∈[

1

2

，+∞)，∴f（x）的最小值為-2；…（5分）
（Ⅱ）令t=a^x，h(t)=f(x)=t2-2at+2≤3⇒2a≥t-

1

t

…（7分）
當0＜a＜1時，2a≥t-

1

t

在t∈[a2，

1

a

]恒成立…（9分）⇒2a≥[t-

1

t

]max=

1

a

-a⇒3a≥

1

a

⇒a≥

3

3

…（11分）
所以a∈[

3

3

，1)．…（12分）

點評：本題考查函數的最值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．