Question

在平面直角坐標系xoy中，已知點A（5，-5），P（cosα，sinα），其中0≤α≤π
（1）若，求證：．
（2）若，求sinα+3cosα的值．

Answer 1

解：（1）若，∵已知點A（5，-5），P（cosα，sinα），0≤α≤π，
∴sinα=，=（5-cosα，-5-sinα），=（-cosα，-sinα），
∴=（5-cosα，-5-sinα）•（-cosα，-sinα）=-5cosα+cos²α+5sinα+sin²α
=1+5sinα-5×cosα=1+5×-5×=0，
故有 ．
（2）若，則-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化簡可得 sinα=cosα．
再由0≤α≤π 可得，α=，故sinα+3cosα=+=2．
分析：（1）由條件利用同角三角函數的基本關系求得sinα=，利用兩個向量的數量積公式求得，可得．
（2）利用兩個向量共線的性質可得-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化簡可得 sinα=cosα=，從而得到sinα+3cosα的值．
點評：本題主要考查兩個向量垂直、共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，同角三角函數的基本關系的應用，屬于基礎題．