Question

動圓P與定圓O₁：x²+y²+4x-5=0和O₂：x²+y²-4x+3=0均外切，設P點的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）過點A（3，0）作直線l交曲線C于P、Q兩點，交y軸于M點，若當λ₁+λ₂=m時，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）Q₁：（x+2）²+y²=9，Q₂：（x-2）²+y²=1，
動圓的半徑為r，則|PQ₁|=r+3，
|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，…（3分）
點P的軌跡是以O₁、O₂為焦點的雙曲線右支，
a=1，c=2，
方程為…（6分）
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當k不存在時，不合題意．
直線PQ的方程為y=k（x-3），
則，
…（8分）
由∵x₁、，
∴k²＞3…（10分）
…（14分）
分析：（1）Q₁：（x+2）²+y²=9，Q₂：（x-2）²+y²=1，動圓的半徑為r，則|PQ₁|=r+3，|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，由此能求出C的方程．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），當k不存在時，不合題意．直線PQ的方程為y=k（x-3），由此能求出m的取值范圍．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．