Question

已知函數f（x）=x²+ax-lnx，a∈R
（1）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然常數）時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（3）求證：當x∈（0，e]時，e²x-

5

2

＞lnx+

lnx

x

．

Answer 1

（1）求導函數可得f′(x)=

2x2+ax-1

x

因為函數f（x）在[1，2]上是減函數，所以f′(x)=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0 h(2)≤0

得

a≤-1 a≤- 7 2

，∴a≤-

7

2

；
（2）假設存在實數a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′（x）=

ax-1

x

①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
②當0＜

1

a

＜e時，g（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，e]上單調遞增
∴g（x）_min=g（

1

a

））=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
③當

1

a

≥e時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
綜上，存在實數a=e²，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3．
（3）證明：由（2）知當a=e²，g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，即g（x）=e²x-lnx≥3
又原不等式成立只須e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

成立
令F（x）=

5

2

+

lnx

x

，則F′（x）=

1-lnx

x2

當0＜x≤e時，F'（x）≥0，∴F（x）在（0，e]上單調遞增
故F（x）_max=F（e）=

1

e

+

5

2

＜3
故當x∈（0，e]時，e²x-

5

2

＞lnx+

lnx

x

，即原命題得證