Question

【題目】已知函數f0(x)＝ (x>0)，設fn(x)為fn－1(x)的導數，n∈N*.

(1)求2f1＋f2的值；

(2)證明：對任意的n∈N*，等式＝都成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由于求兩個函數的相除的導數比較麻煩，根據條件和結論先將原函數化為：xf0（x）=sinx，然后兩邊求導后根據條件兩邊再求導得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x= 代入式子求值；

（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再對所得的式子兩邊再求導，并利用誘導公式對所得式子進行化簡、歸納，再進行猜想得到等式，用數學歸納法進行證明等式成立，主要利用假設的條件、誘導公式、求導公式以及題意進行證明，最后再把x=代入所給的式子求解驗證．

解： (1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝，

于是f2(x)＝f1′(x)＝=，

所以，．

故=－1.

(2)證明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式兩邊分別對x求導，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，

即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝.

類似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，

3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝，

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．

下面用數學歸納法證明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝對所有的n∈N*都成立．

(i)當n＝1時，由上可知等式成立．

(ii)假設當n＝k時等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝.

因為[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，

,

所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝，

因此當n＝k＋1時，等式也成立．

綜合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝對所有的n∈N*都成立．

令x＝ ，可得

所以