Question

已知函數，其中c為常數，且函數f（x）圖象過原點．
（1）求c的值；
（2）證明函數f（x）在[0，2]上是單調遞增函數；
（3）已知函數，求函數g（x）的零點．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）圖象過原點，∴f（0）=0，解得 c=0，故函數f（x）=．
（2）證明：設0≤x₁＜x₂≤2，
則f（x₁）-f（x₂）=-==-．
由0≤x₁＜x₂≤2 可得，x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，故有-＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂ ），
故函數f（x）在[0，2]上是單調遞增函數．
（3）令，
∴，即x=ln=-ln2，
即函數g（x）的零點為 x=-ln2．
分析：（1）根據函數f（x）圖象過原點，即f（0）=0，解得 c的值．
（2）設0≤x₁＜x₂≤2，化簡f（x₁）-f（x₂） 的解析式為-＜0，得f（x₁）＜f（x₂ ），從而證明函數f（x）在[0，2]上是單調遞增函數．
（3）令函數=0，求出x的值，即為函數的零點．
點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，函數零點的定義、求函數零點的方法，屬于基礎題．