Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，P為雙曲線上任一點，已知|

PF1

|•|

PF2

|的最小值為m．當

c2

3

≤m≤

c2

2

時，其中c=

a2+b2

，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A．(1，

  2

  ]
• B．(

  3

  2

  ，2)
• C．(1，

  6

  2

  ]
• D．[

  6

  2

  ，

  2

  ]

Answer 1

分析：先根據題意得到兩焦點的坐標，可得到當y=0時，|

PF1

|•|

PF2

|的最小值為m，進而可求出離心率．

解答：解：由題意可知F₁（-c，0），F₂（c，0），設點P為（x，y），
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則|

PF1

|•|

PF2

|在y=0時，取得最小值為m，即m=c²-a²，
當

c2

3

≤m≤

c2

2

時，

c2

3

≤c²-a²≤

c2

2

時，
∴c²-

c2

2

≤a²≤c²-

c2

3

∴

1

2

≤

a2

c2

≤

2

3

，即

3

2

≤

c2

a2

≤2
故e=

c

a

∈[

6

2

，

2

]，
故選：D

點評：本題考查了雙曲線的定義，雙曲線的幾何性質，離心率的求法