Question

【題目】設橢圓，定義橢圓的“相關圓”方程為．若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構成直角三角形．

(1)求橢圓的方程和“相關圓”的方程；

(2)過“相關圓”上任意一點的直線與橢圓交于兩點．為坐標原點，若，證明原點到直線的距離是定值，并求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，“相關圓”的方程為；（2）或.

【解析】

（1）由已知條件計算出橢圓的方程和“相關圓”的方程

（2）直線與橢圓相交，聯立方程組，由求出之間關系，然后再表示出點到線的距離公式，即可求出結果

解：（1）因為若拋物線的焦點為與橢圓的一個焦點重合，所以，又因為橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構成直角三角形，所以，

故橢圓的方程為，“相關圓”的方程為

（2）設，

聯立方程組得，

，

即

，

由條件得,

所以原點到直線的距離是，

由得為定值

又圓心到直線的距離為，直線與圓有公共點，滿足條件

由，即，∴即

又，即，所以，即或

綜上，或