Question

關于函數f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx，下列結論：
①f（x）的最小正周期是π；
②f（x）在區間[-

π

6

， 

π

6

]上單調遞增；
③函數f（x）的圖象關于點(

π

12

， 0)成中心對稱圖形；
④將函數f（x）的圖象向左平移

5π

12

個單位后與y=-2sin2x的圖象重合；
其中成立的結論序號為

①②④

．

Answer 1

分析：利用三角函數的圖象與性質、倍角公式、兩角和的正弦公式、誘導公式即可得出．

解答：解：∵f（x）=cos2x+

3

sin2x=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=2sin(2x+

π

6

)．
∴①f（x）的最小正周期=

2π

2

=π，正確；
②∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴(2x+

π

6

)∈[-

π

6

，

π

2

]，故函數f（x）在區間[-

π

6

， 

π

6

]上單調遞增，正確；
③∵f(

π

12

)=2sin(2×

π

12

+

π

6

)=2sin

π

3

≠0，∴函數f（x）的圖象關于點(

π

12

， 0)不成中心對稱圖形，故不正確；
④將函數f（x）的圖象向左平移

5π

12

個單位后得到g（x）=f(x+

5π

12

)=2sin[2(x+

5π

12

)+

π

6

]=2sin（2x+π）=-2sin2x，
故將函數f（x）的圖象向左平移

5π

12

個單位后與y=-2sin2x的圖象重合，正確．
綜上可知：正確的為①②④．
故答案為①②④．

點評：熟練掌握三角函數的圖象與性質、倍角公式、兩角和的正弦公式、誘導公式是解題的關鍵．