Question

【題目】已知拋物線，與圓有且只有兩個公共點．

（1）求拋物線的方程；

（2）經過的動直線與拋物線交于兩點，試問在直線上是否存在定點，使得直線的斜率之和為直線斜率的倍？若存在，求出定點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點滿足題意．

【解析】

（1）聯立方程，得，由可得值，即可得拋物線的方程；

（2）由題設，易得當直線的斜率不存在時，恒有；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，聯立方程，由韋達定理與斜率公式表示出，由列方程求解出即可.

（1）聯立方程，得，

因為拋物線與圓有且只有兩個公共點，

則，解得或，

又，所以，

所以拋物線的方程為；

（2）假設直線上存在定點，

當直線的斜率不存在時，，，

由題知，即恒成立．

當直線的斜率存在時，

設直線的方程為，，，

聯立方程得，

則，，

由題知，

所以

，

整理得，

因為上式對任意成立，所以，解得，

故所求定點為．