Question

（理）一個數列中的數均為奇數時，稱之為“奇數數列”． 我們給定以下法則來構造一個奇數數列{a_n}，對于任意正整數n，當n為奇數時，a_n=n；當n為偶數時，a_n=a

n

2

．
（1）試寫出該數列的前6 項；
（2）研究發現，該數列中的每一個奇數都會重復出現，那么第5個5是該數列的第幾項？
（3）求該數列的前2ⁿ項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知an=

n，n為奇數 a n 2 ，n為偶數

，（n∈N^*），由此得該數列的前6項．
（2）借助于遞推公式知道奇數項的值為其項數，而偶數項的值由對應的值來決定．又通過前面的項發現項的值為5時，下角碼是首項為5，公比為2的等比數列．即可求出第5個5在該數列中所占的位置．
（3）由條件可得 T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a 2n）=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-1-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-2-1）]+…+（1+3）+1，根據1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）=4^n-1，可得 T_n =4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4¹+4⁰+1，根據等比數列前n項和公式求得結果．

解答：解：：（1）根據題意可知an=

n，n為奇數 a n 2 ，n為偶數

，（n∈N^*）
由此得：該數列的前6項分別為1，1，3，1，5，3．
（2）這個數列各項的值分別為1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
仔細觀察發現a₅=5，a₁₀=5，a₂₀=5，a₄₀=5…
即項的值為5時，下角碼是首項為5，公比為2的等比數列．
所以第5個5是該數列的第5×2^5-1=80項．
第5個5是該數列的第80項．
（3）由題意可得
T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a₂ⁿ）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₁+a₂+a₃+…+a₂^n-1）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（a^2n-1-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a 2n-1）
…
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-1-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-2-1）]+…+（1+3）+1．
由于1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）=

2n-1(1+2n-1)

2

=（2^n-1）²=4^n-1，
故 T_n =4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4¹+4⁰+1=

1×(1-4n)

1-4

+1=

4n+2

3

．

點評：本題主要考查了數列遞推公式應用，同時考查了等比數列的通項公式，等比數列前n項和公式求，解題時要認真審題，仔細觀察規律，避免錯誤，屬于難題．