Question

已知點(diǎn)D(-6,0),點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足=0.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C;

(2)過T(-1,0)作直線與軌跡C交于A、B兩點(diǎn),若在x軸上存在一點(diǎn)E(x₀,0),使△ABE為等邊三角形,求x₀的值.

Answer 1

解：(1)設(shè)M(x,y),P(0,y′),Q(x′,0)(x′＞0),

∵=故由解得∴

再由=0,得(6,)·(x,y)=0,

6x-y²=0,∴y²=8x(x＞0).

故動點(diǎn)M的軌跡C是以(0,0)為頂點(diǎn)、(2,0)為焦點(diǎn)的拋物線(除去原點(diǎn)).

(2)設(shè)過T(-1,0)的直線l的方程為y=k(x+1)(k≠0),

代入y²=8x,得k²x²+2(k²-4)x+k²=0.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則x₁+x₂=,x₁x₂=1,∴AB中點(diǎn)為().線段AB的中垂線方程為y,令y=0,得x₀=+4=3+.

∴E(3+,0).∵△ABE為等邊三角形,故點(diǎn)E到AB的距離為d=|AB|.而|AB|=|x₂-x₁|=·,

故d=.

又E到直線y=k(x+1),即kx-y+k=0的距離為,

由,解得k=±.∴3+=6.

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0).