Question

已知等比數例{a_n}的公比q＞1，a₁，a₂是方程x²-3x+2=0的兩根，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{2n•a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）依題意，易求a₁=1，a₂=2，從而得q=2，于是可得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知2n•a_n=n•2ⁿ，S_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，利用錯位相減法即可求得數列{2n•a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）方程x²-3x+2=0的兩根分別為1、2，…（1分）
依題意得a₁=1，a₂=2，…（2分）
所以q=2，…（3分）                               
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1；…（4分）
（2）由（1）知2n•a_n=n•2ⁿ，…（5分）
所以S_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，①
2•S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
由①-②得：
-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，…（8分）
即-S_n=

2-2n•2

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，…（11分）
所以S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹…（12分）

點評：本題主要考查一元二次方程的根、等比數列的通項公式、錯位相減法求數列的和等基本知識，考查應用能力、運算求解能力，考查函數與方程思想．