Question

如圖所示, 在三棱柱中, 底面，.

（1）若點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，求證：平面；
(2) 請根據(jù)下列要求設(shè)計(jì)切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側(cè)棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體. 簡單地寫出一種切割和拼接方法，并寫出拼接后的長方體的表面積（不必寫出計(jì)算過程）.

Answer 1

（Ⅰ）   （Ⅱ）拼接成的長方體的表面積為16或.

連結(jié)，底面，平面，
∴.   ，分別為棱的中點(diǎn)，
∴.，
∴Rt△ Rt△.∴.
,∴.
∴.  ∴
，∴平面.
∴.  ，∴平面.                                      
平面，∴. 同理可證.                                     
，∴平面.                                        
（2）切割拼接方法一：如圖甲所示，分別以的中點(diǎn)所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體（該長方體的一個底面為長方形如圖①所示，），此時(shí)所拼接成的長方體的表面積為16. 


圖甲                           圖①
切割拼接方法二：如圖乙所示，設(shè)的中點(diǎn)分別為，以四點(diǎn)所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體（該長方體的一個底面為正方形），此時(shí)所拼接成的長方體的表面積為.