Question

【題目】已知函數，其中e為自然對數的底數.

（1）求證：函數是偶函數；

（2）求證：函數在上單調遞減；

（3）求函數在閉區間上的最小值和最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）最小值為，最大值為

【解析】

（1）利用定義法證明是偶函數，注意定義域的分析；

（2）利用定義法證明在上單調遞減，注意函數單調性的證明步驟；

（3）根據的單調性、奇偶性確定出在上的最值.

（1）易知函數的定義域為R，顯然關于原點對稱.

又因為，

故根據偶函數的定義可知，函數是偶函數.

（2）任取，且設，則

.

又由，得，所以；

易知，

所以，所以.

于是，可得，

即.

故根據函數單調性的定義，可知函數在上單調遞減.

（3）根據（1）、（2）知函數的圖象關于y軸對稱，

且在上單調遞減，在上單調遞增.

據此易得函數在閉區間上的最小值為，最大值為.