Question

附加題：（本題共6分，附加題的得分直接加入總分，總分最高分不超過(guò)150分）
已知函數(shù)f（x）=lgsin（cosx）
（1）求y=f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（3）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）這里的cosx以它的值充當(dāng)角，要使sin（cosx）＞0轉(zhuǎn)化成2kπ＜cosx＜2kπ+π，注意cosx自身的范圍．
（2）根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷；
（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷：設(shè)y=lgu，u=sint，t=cosx，
因?yàn)?＜t≤1，所以y═lgu，u=sint都單調(diào)遞增，所以y=f（x）的單調(diào)性與t=cosx單調(diào)性一致，由此即可判斷．

解答：解：（1）由sin（cosx）＞0⇒2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）．
又∵-1≤cosx≤1，
∴0＜cosx≤1；
故所求定義域?yàn)閧x|x∈（2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

），k∈Z}．
（2）由（1）知y=f（x）的定義域?yàn)椋?kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

）（k∈Z），
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f（-x）=f（x），
所以y=f（x）為偶函數(shù)．
（3）設(shè)y=lgu，u=sint，t=cosx，
因?yàn)?＜t≤1，所以y═lgu，u=sint都單調(diào)遞增，
故當(dāng)2kπ-

π

2

＜x≤2kπ時(shí)，t=cosx單調(diào)遞增，
所以y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2kπ-

π

2

，2kπ]（k∈Z），
當(dāng)2kπ＜x＜2kπ+

π

2

時(shí)，t=cosx單調(diào)遞減，
所以y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2kπ，2kπ+

π

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線．