Question

已知橢圓，過點A（0，-1）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+1與橢圓E交于C、D兩點，以線段CD為直徑的圓過點M（-1，0），求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，直線AB的方程為：x-ay-a=0
∵過點A（0，-1）和B（a，0）的直線與原點的距離為，
∴
∴a=
∴橢圓E的方程為；
（Ⅱ）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），將直線l：y=kx+1代入橢圓E，消元可得（1+3k²）x²+6kx=0
∴x₁=0，x₂=
∴y₁=1，y₂=，
∵以線段CD為直徑的圓過點M（-1，0），
∴
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴
∴
∴直線l的方程為．
分析：（Ⅰ）求得直線AB的方程為：x-ay-a=0，利用過點A（0，-1）和B（a，0）的直線與原點的距離為，求得a的值，即可得到橢圓E的方程；
（Ⅱ）將直線l：y=kx+1代入橢圓E，消元可得（1+3k²）x²+6kx=0，求得C，D的坐標，利用，即可求得直線l的方程．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，將直線與橢圓方程聯立是關鍵．