Question

如圖，三棱錐中，底面，，，為的中點，點在上，且.

(Ⅰ)求證：平面平面；

(Ⅱ)求平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；

【解析】

試題分析：（Ⅰ）主要利用線線垂直、線面垂直可證面面垂直；（Ⅱ）通過作平行線轉化到三角形內解角；當然也可建系利用空間向量來解.

試題解析：(Ⅰ)∵底面，且底面， ∴         1分

由，可得                                        2分

又∵ ，∴平面                             

注意到平面， ∴                                  3分

∵,為中點，∴                                 4分

∵， 平面                                   5分

而平面，∴                         6分

 (Ⅱ)如圖，以為原點、所在直線為軸、為軸建立空間直角坐標系.

則 8分

     10分

設平面的法向量.

則 

解得         12分

取平面的法向量為  則，

故平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值為.     14分

考點：立體幾何面面垂直的證明；二面角.