Question

選修4-5：不等式選講
不等式a²-3a≤|x+3|+|x-1|對任意實數x恒成立，實數a的取值范圍為

-1＜a＜4

．

Answer 1

分析：構造函數f（x）=|x+3|+|x-1|，利用絕對值不等式可求得f（x）_min=4，解不等式a²-3a≤4即可．

解答：解：根據函數y=f（x）=|x+3|+|x-1|的幾何意義知：y_min=4．
要使不等式a²-3a≤|x+3|+|x-1|對任意實數x恒成立，
只需a²-3a≤（|x+3|+|x-1|）_min，
即a²-3a≤4，
解得-1＜a＜4，
所以實數a的取值范圍為-1＜a＜4．
故答案為：-1＜a＜4．

點評：本題考查絕對值不等式，考查構造函數及等價轉換思想，屬于中檔題．