Question

在數列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^•．
（1）設b_n=a_n-n，求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）確定數列{b_n}是等比數列，則要證明

bn+1

bn

是個不為0的定值，結合題干條件即可證，
（2）首先根據（1）求出數列{b_n}的通項公式，然后根據題干條件求得a_n=b_n+n=4^n-1+n，結合等差數列和等比數列的求和公式即可解答．

解答：解：（1）∵

bn+1

bn

=

an+1-(n+1)

an-n

=

4an-3n+1-(n+1)

an-n

=

4(an-n)

an-n

=4，（5分）
且b₁=a₁-1=1∴b_n為以1為首項，以4為公比的等比數列，（7分）
（2）由（1）得b_n=b₁q^n-1=4^n-1（8分）∵a_n=b_n+n=4^n-1+n，（9分）
∴

Sn=(40+41+42++4n-1)+(1+2+3++n)

=

1-4n 1-4 + n(n+1) 2 = 4n-1 3 + n(n+1) 2

，（12分）

點評：本題主要考查數列求和和等比關系的確定的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握等差和等比數列的性質和求和公式，本題難度一般．