Question

【題目】已知兩個集合A，B，滿足BA．若對任意的x∈A，存在ai ， aj∈B（i≠j），使得x=λ1ai+λ2aj（λ1 ， λ2∈{﹣1，0，1}），則稱B為A的一個基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，則其基集B元素個數的最小值是 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：不妨設a1＜a2＜a3＜…＜am，則

形如1×ai+0×aj（1≤i≤j≤m）的正整數共有m個；

形如1×ai+1×ai（1≤i≤m）的正整數共有m個；

形如1×ai+1×aj（1≤i≤j≤m）的正整數至多有Cm2個；

形如﹣1×ai+1×aj（1≤i≤j≤m）的正整數至多有Cm2個．

又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），含n個不同的正整數，A為集合M的一個m元基底．

故m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n，

A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，可知m（m+1）≥10，所以m≥3．

所以答案是3．

【考點精析】通過靈活運用集合的表示方法-特定字母法，掌握①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.③描述法：{|具有的性質}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合即可以解答此題．