Question

假設A型進口車關稅稅率在2002年是100%，在2007年是25%，2002年A型進口車每輛價格為64萬元（其中含32萬元關稅稅款）．
（1）已知與A型車性能相近的B型國產車，2002年每輛價格為46萬元，若A型車的價格只受關稅降低的影響，為了保證2007年B型車的價格不高于A型車價格的90%，B型車價格要逐年降低，問平均每年至少下降多少萬元？
（2）某人在2002年將33萬元存入銀行，假設銀行扣利息稅后的年利率為1.8%（5年內不變），且每年按復利計算（上一年的利息計入第二年的本金），那么5年到期時這筆錢連本帶息是否一定夠買按（1）中所述降價后的B型車一輛？

Answer 1

解：（1）2007年A型車價為32+32×25%=40（萬元）
設B型車每年下降d萬元，2002，20032007年B型車價格為：（公差為-d）
a₁，a₂，…，a₆，∴a₆≤40×90%∴46-5d≤36 d≥2
故每年至少下降2萬元
（2）2007年到期時共有錢
33×（1+1.8%）⁵＞33（1+0.09+0.00324+…）=36.07692＞36（萬元）
故5年到期后這筆錢夠買一輛降價后的B型車．
分析：（1）根據題意知，B型車價格構成一個等差數列：a₁，a₂，…，a₆，其第六項a₆≤40×90%由此解得公差的取值范圍即可；
（2）由（1）得：2007年到期時共有錢：33×（1+1.8%）⁵，再利用二項式定理展開計算即可得，5年到期后這筆錢夠買一輛什么型的車．
點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、等差數列、二項式定理的應用等，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．