Question

如圖（1）所示，正△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC，BC的中點．現將△ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD⊥平面BCD（如圖（2）），
（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（2）求三棱錐C-DEF的體積．

Answer 1

解：（1）判斷：AB∥平面DEF，（2分）
證明：因在△ABC中，E，F分別是AC，BC的中點，
∴EF∥AB，（5分）
又因AB?平面DEF，
∴EF?平面DEF，（6分）
所以AB∥平面DEF，（7分）
（2）過點E作EM⊥DC于點M，
∵面ACD⊥面BCD，面ACD∩面BCD=CD，而EM?面ACD
故EM⊥平面BCD 于是EM是三棱錐E-CDF的高，（9分）
又△CDF的面積為S_△CDF====，
EM=，（11分）
故三棱錐C-DEF的體積==．（14分）
分析：（1）判斷：AB∥平面DEF，再由直線與平面平行的判定定理進行證明．
（2）過點E作EM⊥DC于點M，由面ACD⊥面BCD，面ACD∩面BCD=CD，而EM?面ACD，知EM是三棱錐E-CDF的高，由此能求出三棱錐C-DEF的體積．
點評：本題考查直線與平面的位置關系的判斷，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．