Question

（2013•汕尾二模）已知角α的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經過點P(-

3

2

，

1

2

)．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函數f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函數y=

3

f(

π

2

-2x)-2f2(x)的最大值及對應的x的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數的定義求出sinα、cosα和tanα的值，利用兩角和與差正弦公式化簡sin2α-tanα并求出其值．
（II）首先化簡函數f（x），然后利用誘導公式以及兩角和與差公式得出y=2sin（2x-

π

6

）-1，進而求正弦函數的特點求出結果．

解答：解：（Ⅰ）因為角α終邊經過點P(-

3

2

，

1

2

)，所以sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，tanα=-

3

3

…（3分）

∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα…(4分) =- 3 2 + 3 3 =- 3 6 …(5分)

（Ⅱ）∵f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R…（7分）

∴y= 3 cos( π 2 -2x)-2cos2x= 3 sin2x-1-cos2x…(9分) =2sin(2x- π 6 )-1…(11分)

∴y_max=2-1=1，…（12分）
此時sin(2x-

π

6

)=1，2x-

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

3

，k∈Z…（13分）

點評：此題考查了二倍角的正弦、三角函數定義、同角三角函數間的基本關系、誘導公式，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．