Question

若函數f（x）為奇函數，當x≥0時，f（x）=2x²-4x（如圖）．
（Ⅰ）請補全函數f（x）的圖象；
（Ⅱ）寫出函數f（x）的表達式；
（Ⅲ）用定義證明函數y=f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的圖象關于原點對稱這一性質即可補全函數f（x）的圖象．
（Ⅱ）任取x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞）f（-x）=2（-x）²-4（-x）=2x²+4x再根據f（x）為奇函數即滿足f（x）=-f（-x）即可求出f（x）在x∈（-∞，0）的解析式從而即可求出函數f（x）的表達式．
（Ⅲ）直接根據單調遞增函數的定義證明即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）如圖所示．    …（4分）
（Ⅱ）任取x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞）
由f（x）為奇函數，
則f（x）=-f（-x）=-[2（-x）²-4（-x）]=-2x²-4x…（6分）
綜上所述，f(x)=

2x2-4x  ， x≥0  -2x2-4x，x＜0

…（7分）
評分建議：
用待定系數法也可以完成，參照以上評分標準給分；
觀察圖象，直接得出函數解析式，沒有中間過程，建議這次不扣分；
如果最后結果不寫成分段形式，應當扣（1分）．
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，…（8分）
則f（x₁）-f（x₂）=(2x12-4x1)-(2x22-4x2)…（9分）
=(2x12-2x22)-(4x1-4x2)
=2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-4（x₁-x₂）
=2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]…（10分）
∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0
又由x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，所以x₁+x₂＞2，∴（x₁+x₂）-2＞0
∴2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）…（11分）
∴函數f（x）=2x²-4x在區間[1，+∞）上單調遞增．…（12分）
評分建議：如果不強調取值的任意性，建議酌情扣（1分）．

點評：本題主要考察了奇函數的定義和性質以及利用定義法證明單調函數，屬中檔題，較難．解題的關鍵是透徹理解奇函數的圖象關于原點對稱且有f（x）=-f（-x）這是求解f（x）的表達式的關鍵所在并且結果要寫成分段函數的形式而對于利用定義法證明單調函數要抓住作差--變形--定號--下結論這四步即可！