Question

對于函數(shù)y=f（x），存在區(qū)間[a，b]，當x∈[a，b]時，y∈[ka，kb]（k＞0），則稱y=f（x）為k倍值函數(shù)．已知f（x）=e^x+x是k倍值函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是

（e+1，+∞）

．

Answer 1

分析：f（x）=e^x+x的定義域是R，f（x）在定義域為單調(diào)增函數(shù)，由題設條件得k=

ex

x

+1，令g（x）=

ex

x

+1，利用導數(shù)求的g（x）的極小值為：g（1）=1+e，由此能求出k的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=e^x+x的定義域是R，f（x）在定義域為單調(diào)增函數(shù)，
∴有：f（a）=ka，f（b）=kb，
即：e^a+a=ka，e^b+b=kb，即a，b為方程e^x+x=kx的兩個不同根，
∴k=

ex

x

+1，
令g（x）=

ex

x

+1，則g′(x)=

xex-ex

x2

，
令g′(x)=

xex-ex

x2

=0，得極小值點x=1．
故g（x）的極小值為：g（1）=1+e，
當x→0時，g（x）→+∞，當x→∞時，g（x）→1，
∴k＞1+e時，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，方程 k=

ex

x

+1有兩個解．
故所求的k的取值范圍為（e+1，+∞），
故答案為：（e+1，+∞）．

點評：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的值的方法，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，解題時要認真審題，仔細解答．