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定義:若數列{An}滿足An+1=An2,則稱數列{An}為“平方遞推數列”.已知數列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數f(x)=x2+4x+2的圖象上,其中n為正整數.
(1)判斷數列{an+2}是否為“平方遞推數列”?說明理由.
(2)證明數列{lg(an+2)}為等比數列,并求數列{an}的通項.
(3)設Tn=(2+a1)(2+a2)…(2+an),求Tn關于n的表達式.
【答案】分析:(1)根據點(an,an+1)在函數f(x)=x2+4x+2的圖象上,可以得到數列{an}的遞推關系式,再應用完全平方公式,就可得到數列{an+2}的遞推關系式,根據數列{an+2}的遞推關系式,可判斷是否為“平方遞推數列”.
(2)欲證明數列{lg(an+2)}為等比數列,只需證明此數列的后一項與前一項的比是常數,由(1)所得
an+1+2=(an+2)2,兩邊取常用對數,即可證明.再利用等比數列通項公式求出數列{lg(an+2)}的通項公式,進而得到數列{an}的通項公式.
(3)由(2)可求數列{lg(an+2)}的通項公式,求出數列{lg(an+2)}的前n項和,再借助對數函數的運算律,求出lgTn,把等式兩邊的對數符號去掉,即可得到Tn關于n的表達式.
解答:解:(1)由條件得:an+1=an2+4an+2,
∴an+1+2=an2+4an+4=(an+2)2,∴{an+2}是“平方遞推數列”.
(2)由(1)得
∴{lg(an+2)}為等比數列.                                         
∵lg(a1+2)=lg4,∴lg(an+2)=lg4•2n-1,∴
.                                     
(3)∵

點評:本題主要考查了構造法判斷數列的性質以及求數列的通項公式,求和.屬于數列的綜合題.
練習冊系列答案
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(1)證明:數列{2an+1}是“平方數列”,且數列{lg(2an+1)}為等比數列.
(2)設(1)中“平方數列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數列{an}的通項及Tn關于n的表達式.
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(1)證明:數列{2an+1}是“平方遞推數列”,且數列{lg(2an+1)}為等比數列.
(2)設(1)中“平方遞推數列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數列{an}的通項及Tn關于n的表達式.
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A
2
n
則稱數列{An}為“平方遞推數列”,已知數列{an}中,a1=2,點{an,an+1}在函數f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n的正整數.
(1)證明數列{2an+1}是“平方遞推數列”,且數列{lg(2an+1)}為等比數列;
(2)設(1)中“平方遞推數列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數列{an}的通項及Tn關于n的表達式;
(3)記bn=log2an+1Tn,求數列{bn}的前n項和Sn,并求使Sn>2008的n的最小值.

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(2)證明數列{lg(an+2)}為等比數列,并求數列{an}的通項.
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