Question

已知雙曲線C的離心率為

2

，且過點（4，-

10

）
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若點M（3，m）在雙曲線C上，求證：MF₁⊥MF₂；
（3）求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

（1）∵雙曲線C的離心率為

2

，
∴雙曲線為等軸雙曲線
∴設雙曲線C的方程為nx²-ny²=1
∵雙曲線C過點（4，-

10

）
∴16n-10n=1∴n=

1

6

∴

x2

6

-

y2

6

=1即為所求．
（2）∵點M（3，m）在雙曲線C上
∴m=±

3

由雙曲線的對稱性知，我們只需證明點M（3，

3

） 滿足MF₁⊥MF₂即可
∴

MF1

=(2

3

-3，-

3

），

MF2

=(-2

3

-3，-

3

）
∴

MF1

• 

MF2

=(2

3

-3)(-2

3

-3)+(-

3

)(-

3

)=0，
∴MF₁⊥MF₂；
（3）S△F1MF2=

1

2

|

MF1

||

MF2

|
=

1

2

(2 3 -3)2+(- 3 )2

•

(-2 3 -3)2+(- 3 )2

=

1

2

(24-12 3 )(24+12 3 )

=6．