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設函數y=f(x)對于x>0有意義,且滿足條件:f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在(0,+∞)上為增函數,
①證明:f(1)=0;         
②求f(4)的值;
③如果f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范圍.
分析:(1)將x=1代入條件,化簡即得f(1)=0;
(2)令x=y=2代入題中條件,算出f(4)=2f(2),結合f(2)=1即可算出f(4)的值;
(3)根據函數對應法則,得f(x)+f(x-3)=f(x(x-3)),將不等式右邊的2化成f(4),結合函數的定義域與單調性建立關于x的不等式組,解之即可得到實數x的取值范圍.
解答:解:①令x=1代入題中條件,得f(y)=f(1)+f(y) 得f(1)=0;
②令x=y=2代入題中條件,
得f(2×2)=f(2)+f(2),得f(4)=2f(2)
∵f(2)=1,∴f(4)=2f(2)=2
③∵f(x)+f(x-3)≤2,
∴f(x(x-3))≤f(4)
結合f(x)在(0,+∞)上為增函數,可得
x(x-3)≤4
x>0
x-3>0

解之得 3<x≤4,實數x的取值范圍為(3,4].
點評:本題給出抽象函數,求函數的值并求解關于x的不等式.著重考查了函數單調性、函數值的求法等知識,屬于中檔題.利用“賦值法”使抽象函數問題具體化,是解決這類問題的關鍵所在.
練習冊系列答案
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設函數y=f(x)對任意正實數x,y都有f(x•y)=f(x)+f(y),已知f(8)=3,則f(
2
)
等于(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數y=f(x)對任意的實數x,都有f(x)=
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f(x-1)
,且當x∈[0,1]時,f(x)=27x2(1-x).
(1)若x∈[1,2]時,求y=f(x)的解析式;
(2)對于函數y=f(x)(x∈[0,+∞)),試問:在它的圖象上是否存在點P,使得函數在點P處的切線與 x+y=0平行.若存在,那么這樣的點P有幾個;若不存在,說明理由.
(3)已知 n∈N*,且 xn∈x[n,n+1],記 Sn=f(x1)+f(x2)+…+f(xn),求證:0≤Sn<4.

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設函數y=f(x)對任意實數x,都有f(x)=2f(x+1),當x∈[0,1]時,f(x)=
27
4
x2(1-x).
(Ⅰ)已知n∈N+,當x∈[n,n+1]時,求y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求證:對于任意的n∈N+,當x∈[n,n+1]時,都有|f(x)|≤
1
2n

(Ⅲ)對于函數y=f(x)(x∈[0,+∞),若在它的圖象上存在點P,使經過點P的切線與直線x+y=1平行,那么這樣點有多少個?并說明理由.

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年湖南省郴州市汝城一中高三(上)周練數學試卷(4)(理科)(解析版) 題型:解答題

設函數y=f(x)對任意的實數x,都有,且當x∈[0,1]時,f(x)=27x2(1-x).
(1)若x∈[1,2]時,求y=f(x)的解析式;
(2)對于函數y=f(x)(x∈[0,+∞)),試問:在它的圖象上是否存在點P,使得函數在點P處的切線與 x+y=0平行.若存在,那么這樣的點P有幾個;若不存在,說明理由.
(3)已知 n∈N*,且 xn∈x[n,n+1],記 Sn=f(x1)+f(x2)+…+f(xn),求證:0≤Sn<4.

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