Question

設函數y=f（x）對于x＞0有意義，且滿足條件：f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）在（0，+∞）上為增函數，
①證明：f（1）=0；         
②求f（4）的值；
③如果f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將x=1代入條件，化簡即得f（1）=0；
（2）令x=y=2代入題中條件，算出f（4）=2f（2），結合f（2）=1即可算出f（4）的值；
（3）根據函數對應法則，得f（x）+f（x-3）=f（x（x-3）），將不等式右邊的2化成f（4），結合函數的定義域與單調性建立關于x的不等式組，解之即可得到實數x的取值范圍．

解答：解：①令x=1代入題中條件，得f（y）=f（1）+f（y） 得f（1）=0；
②令x=y=2代入題中條件，
得f（2×2）=f（2）+f（2），得f（4）=2f（2）
∵f（2）=1，∴f（4）=2f（2）=2
③∵f（x）+f（x-3）≤2，
∴f（x（x-3））≤f（4）
結合f（x）在（0，+∞）上為增函數，可得

x(x-3)≤4 x＞0 x-3＞0

解之得 3＜x≤4，實數x的取值范圍為（3，4]．

點評：本題給出抽象函數，求函數的值并求解關于x的不等式．著重考查了函數單調性、函數值的求法等知識，屬于中檔題．利用“賦值法”使抽象函數問題具體化，是解決這類問題的關鍵所在．