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已知向量,O是坐標原點,若||=k||,且方向是沿的方向繞著A點按逆時針方向旋轉θ角得到的,則稱經過一次(θ,k)變換得到.現有向量=(1,1)經過一次(θ1,k1)變換后得到經過一次(θ2,k2)變換后得到,…,如此下去,經過一次(θn,kn)變換后得到.設=(x,y),,則y-x等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】分析:根據題意,可得(θ1,k1)=(1,),即當n=1時,一次(θ1,k1)變換將逆時針旋轉1弧度,再將所得向量的長度再伸長為原來的倍得到向量.因此當=(1,1)時,運用矩陣變換公式,算出逆時針旋轉1弧度所得向量=(cos1-sin1,sin1+cos1),從而得到=(x,y)=(1-+1),所以y-x=.接下來再對A、B、C、D各項在n=1時的情況進行計算,對照所得結果可得只有B項是正確的選項.
解答:解:根據題意,
∴一次(θ1,k1)變換就是將向量逆時針旋轉1弧度,
再將長度伸長為原來的倍,
逆時針旋轉1弧度而得,且=
設向量逆時針旋轉1弧度,所得的向量為=(x',y')
則有=
,即向量逆時針旋轉1弧度,
得到向量=(cos1-sin1,sin1+cos1),再將的模長度伸長為原來的倍,
得到=(cos1-sin1,sin1+cos1)=(1-+1)
因此當n=1時,=(x,y)=(1-+1)
,由此可得y-x=+1-(1-)=
對于A,當n=1時===2,與計算結果不相等,故A不正確;
對于B,當n=1時==,與計算結果相等,故B正確;
對于C,當n=1時==,與計算結果不相等,故C不正確;
對于D,當n=1時===2,與計算結果不相等,故D不正確
綜上所述,可得只有B項符合題意
故選:B
點評:本題給出向量的旋轉和伸縮,求向量=(1,1)經過n變換(θn,kn)后得到的向量坐標,著重考查了向量的線性運算、用矩陣解決向量旋轉問題和數列的通項公式等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知向量,設M是直線OP上任意一點(O為坐標原點),則的最小值為( )
A.-8
B.
C.
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