Question

函數f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]，總有f（x）≥0成立，則a=（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：函數f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]，總有f（x）≥0成立，即ax³-3x+1≥0恒成立，分x=0，0＜x≤1，-1≤x＜0三種情況進行討論，其中x=0時易知a的范圍，另兩種情況分離出參數a后轉化為函數最值即可解決，而最值可用導數求出．

解答：解：函數f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]，總有f（x）≥0成立，即ax³-3x+1≥0恒成立，
①當x=0時，顯然ax³-3x+1≥0成立，此時a∈R；
②當0＜x≤1時，ax³-3x+1≥0即a≥

3x-1

x3

，等價于a≥(

3x-1

x3

)max，
令f（x）=

3x-1

x3

，則f′（x）=

3-6x

x4

，
當0＜x＜

1

2

時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當

1

2

＜x≤1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
∴f（x）_max=f（

1

2

）=

3 2 -1

1 8

=4，
∴a≥4；
③當-1≤x＜0時，ax³-3x+1≥0即a≤

3x-1

x3

，等價于a≤(

3x-1

x3

)min，
此時f（x）=

3x-1

x3

，f′（x）=

3-6x

x4

＞0，f（x）遞增，
∴f（x）_min=f（-1）=

-3-1

(-1)3

=4，
∴a≤4；
綜上所述，a=4．
故選D．

點評：本題考查利用導數研究函數在閉區間上的最值問題，考查恒成立問題，考查轉化思想、分類討論思想，考查學生分析解決的能力．