Question

已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q在雙曲線的右支上，支M（m，0）到直線AP的距離為1
（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且|k|∈[

3

3

，

3

]，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）當m=

2

+1時，△APQ的內心恰好是點M，求此雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出直線AB的方程，表示出點M到直線AP的距離求得m-1的范圍．
（Ⅱ）設雙曲線方程，由M和A求得|AM|，又因為M是△APQ的內心，M到AP的距離為1，所以∠MAP=45°，直線AM是∠PAQ的角平分線，且M到AQ、PQ的距離均為1，求得P點坐標，代入橢圓方程求得b，求得雙曲線方程．

解答：解：（Ⅰ）由條件得直線AP的方程y=k（x-1），
即kx-y-k=0．
因為點M到直線AP的距離為1，
∵

|mk-k|

k2+1

=1，
即|m-1|=

k2+1

|k|

=

1+ 1 k2

．
∵|k|∈[

3

3

，

3

]，
∴

2 3

3

≤|m-1|≤2，
解得

2 3

3

+1≤m≤3或--1≤m≤1--

2 3

3

．
∴m的取值范圍是[-1，1-

2 3

3

]∪[1+

2 3

3

，3]．
（Ⅱ）可設雙曲線方程為x2-

y2

b2

=1(b≠0)，
由M(

2

+1，0)，A(1，0)，
得|AM|=

2

．
又因為M是△APQ的內心，M到AP的距離為1，所以∠MAP=45°，直線AM是∠PAQ的角平分線，且M到AQ、PQ的距離均為1因此，k_AP=1，k_AQ=-1（不妨設P在第一象限）
直線PQ方程為x=2+

2

直線AP的方程y=x-1，
∴解得P的坐標是（2+

2

，1+

2

），將P點坐標代入x2-

y2

b2

=1得，b2=

2 +1

2 +3

所以所求雙曲線方程為x2-

( 2 +3)

2 +1

y2=1，
即x2-(2

2

-1)y2=1．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合運用所學知識解決問題的能力．