【題目】已知方程
.
（1）設
，方程有三個不同實根，求
的取值范圍；
（2）求證：
是方程有三個不同實根的必要不充分條件.
【答案】(1) 
;(2)見解析.
【解析】
試題(1)三次函數有三個零點，等價于零在極大值與極小值之間，因此本題實質先求函數極值，再解不等式， (2)證明不充分，只需舉一個反例即可；證明必要性，可說明
時方程沒有三個不同實根.
試題解析：設
.
（1）當
時，方程
有三個不同實根，
等價于函數
有三個不同零點，
，令
得
或
，
與
的區間
上情況如下：
所以，當
時且
時，存在
，
，
，
使得
.
由的單調性知，當且僅當
時，函數
有三個不同零點.
即方程有三個不同實根.
（2）當
時，
，
，
此時函數在區間上單調遞增，
所以不可能有三個不同零點.
當
時，
只有一個零點，記作
，
當
時，
，在區間
上單調遞增；
當
時，，在區間
上單調遞增.
所以不可能有三個不同零點.
綜上所述，若函數有三個不同零點，則必有
.
故
是有三個不同零點的必要條件.
當，
時，，
只有兩個不同零點，
所以不是有三個不同零點的充分條件.
因此是有三個不同零點的必要而不充分條件.
即是方程
有三個不同實根的必要而不充分條件.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l：y=kx+b，(0<b<1)和圓O：
相交于A，B兩點.
（1）當k=0時，過點A，B分別作圓O的兩條切線，求兩條切線的交點坐標；
（2）對于任意的實數k，在y軸上是否存在一點N，滿足
？若存在，請求出此點坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學高三年級有學生500人，其中男生300人，女生200人。為了研究學生的數學成績是否與性別有關，采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，統計了他們期中考試的數學分數，然后按照性別分為男、女兩組，再將兩組的分數分成5組： 
分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖。
（I）從樣本分數小于110分的學生中隨機抽取2人，求兩人恰為一男一女的概率；
（II）若規定分數不小于130分的學生為“數學尖子生”，請你根據已知條件完成2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“數學尖子生與性別有關”?
附表：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，以坐標原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為： 
，直線
的參數方程是
（
為參數， 
）．
（1）求曲線
的直角坐標方程；
（2）設直線
與曲線
交于兩點
，且線段
的中點為
，求
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，梯形
中，
∥
，
，
，
，將△
沿對角線
折起，設折起后點
的位置為
，使二面角
為直二面角，給出下面四個命題：① 
；②三棱錐
的體積為
；③
平面
；④平面
平面
；其中正確命題的個數是（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是邊長為3的正方形，
平面，
，
，BE與平面所成角為
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）設點M在線段BD上，且
平面BEF，求
的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l的方程為y＝
x－2，又直線l過橢圓C：
（a＞b＞0）的右焦點，且橢圓的離心率為
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點D（0，1）的直線與橢圓C交于點A，B，求△AOB的面積的最大值．
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