Question

20．定義在R上的偶函數f（x），對任意的x有f（x+2）=f（x），當x∈[0，1]，f（x）=a（1-x），（a＞0）．
（1）當x∈[-1，1]時，求f（x）的解析式；
（2）當x∈[2013，2014]時，求f（x）的解析式；
（3）若f（x）的最大值為2，解關于x的不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）求出函數的周期，根據函數的奇偶性求出f（x）在[-1，1]的表達式即可；
（2）根據函數的周期性，根據x∈[2013，2014]時，表達式同x∈[-1，0）時一樣，求出函數的解析式即可；
（3）求出函數f（x）在{-1，1]的單調性，從而求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）f（x+2）=f（x），故函數f（x）的周期是2，
x∈[-1，0]時，f（x）是偶函數，
f（x）=f（-x）=a[1-（-x）]=a（1+x），
∴x∈[-1，1]時，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（1+x），x∈[-1，0]}\\{a（1-x），x∈（0，1]}\end{array}\right.$，
（2）f（x）=f（x+2），
故x∈[-1，0]時，f（x）=f（x+2014），
故x∈[2013，2014]時，表達式同x∈[-1，0）時一樣，
∴f（x）=f（x-2014）=a[1+（x-2014）]=a（x-2013），
∴x=0時，f（x）取最大值，即a=2；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2（x+1），x∈[-1，0]}\\{2（1-x），x∈（0，1]}\end{array}\right.$，
（3）當x∈[0，1]時，f（x）=a（1-x），（a＞0），
∴x∈[0，1]時，f（x）是減函數，
∴在x∈[-1，1]上，f（x）＞1的解集是：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴f（x）＞1的解是：（-$\frac{1}{2}$+2k，$\frac{1}{2}$+2k），k∈（Z）．

點評 本題考查了函數的單調性、周期性以及解不等式問題，是一道中檔題．