Question

已知函數f(x)=

a

•

b

-1，其中

a

=(sinx，1)，

b

=(2sinx，

3

sin2x+n)．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）當x∈[0，

π

2

]，不等式-2＜f（x）＜5恒成立，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知函數f(x)=

a

•

b

-1，其中

a

=(sinx，1)，

b

=(2sinx，

3

sin2x+n)，根據向量的內積乘法，對f（x）進行化簡，從而求其周期和單調區間；
（2）由題意0≤x≤

π

2

，求出2sin(2x-

π

6

)的范圍，再根據已知條件，不等式-2＜f（x）＜5對于x∈[0，

π

2

]恒成立，從而求n的范圍；

解答：解：（1）∵

a

=(sinx，1)，

b

=(2sinx，

3

sin2x+n)
∴f(x)=

a

•

b

-1=2sin2x+

3

sin2x+n-1=

3

sin2x-cos2x+n=2sin(2x-

π

6

)+n
∴函數f（x）的最小正周期為π
為使f（x）單調遞減，則

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ
即 

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ（k∈Z）
∴函數f（x）的單調遞減區間是[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴n-1≤2sin(2x-

π

6

)+n≤2+n
為使用不等式-2＜f（x）＜5對于x∈[0，

π

2

]恒成立，則

n-1＞-2 2+n＜5

，即-1＜n＜3，
∴實數n的取值范圍是（-1，3）

點評：此題主要考查平面向量與三角函數的綜合題，還考查向量的內積，這類題是高考常考的，計算時要仔細，此題是一道中檔題．