Question

如圖，圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4．
（1）求弦BD的長；
（2）設點P是弧BCD上的一動點（不與B，D重合）分別以PB，PD為一邊作正三角形PBE、正三角形PDF，求這兩個正三角形面積和的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理，在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD，在△CDB中 BD²=BC²+CD²-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
結合cos∠BCD=-cos∠BAD 可求∠BAD，代入可求BD
（2）設∠PBD=θ，θ∈0，120°），由

PB

sin(120°-θ)

=

PD

sinθ

=

2 7

sin60°

可表示三角形的面積之和y=

28 3

3

[sin2θ+sin2(120°-θ)]
=

14 3

3

[2+sin(2θ-30°)]，結合sin(2θ-30°)∈(-

1

2

，1]可求y得范圍

解答：解：（1）由余弦定理，在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD
在△CDB中 BD²=BC²+CD²-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
∴20-16cos∠BAD=52-48cos∠BCD
∵cos∠BCD=-cos∠BAD∴64cos∠BAD=-32，cos∠BAD=-

1

2

，
∴∠BAD=120°
代入上式可得，BD2=20-16×(-

1

2

)=28
∴DB=2

7

（6分）
（2）設∠PBD=θ，θ∈0，120°）

PB

sin(120°-θ)

=

PD

sinθ

=

2 7

sin60°

y=

28 3

3

[sin2θ+sin2(120°-θ)]（8分）
=

14 3

3

[2+sin(2θ-30°)]（10分）
∵sin(2θ-30°)∈(-

1

2

，1]
∴y∈(7

3

，14

3

]（12分）

點評：本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，二倍角公式、輔助角公式在三角函數的最值求解中的綜合應用，考查運用知識分析問題、解決問題的能力．屬于知識的簡單綜合．