Question

已知函數f(x)=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

，x∈R
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）確定函數f（x）在[0，

π

2

]上的單調性并求在此區間上f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數，化簡函數的表達式，通過函數的周期求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求出函數的單調減區間以及函數的單調減區間，然后確定函數f（x）在[0，

π

2

]上的單調性，利用正弦函數的單調性求在此區間上f（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）函數f(x)=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

，x∈R，
所以f(x)=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2 x-1=sin（2x-

π

6

）-1，…（3分）
則f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π；…（4分）
（Ⅱ）因為2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
所以kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
所以函數的單調增區間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z，
單調減區間是[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]  k∈Z，
所以函數在[0，

π

3

]上是增函數，在[

π

3

，

π

2

]是減函數．
所以函數的最小值為：f（0）=-

3

2

．

點評：本題考查三角函數的周期的求法，兩角和與差的三角函數的應用，正弦函數的單調性的應用，考查計算能力．