Question

【題目】在下圖所示的幾何體中，底面為正方形，平面，，且，為線段的中點．

（1）證明：平面；

（2）求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2.

【解析】試題分析: （1）證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發給予證明，其中線線垂直的尋找與論證從兩個方面研究，一是利用立體中線面垂直關系轉化，二是利用平幾知識計算，本題先取中點,轉化證明平面，由平面可得,再由正方形性質可得.（2）求四棱錐體積，關鍵找高，而高的尋找往往利用線面垂直關系得到：平面，因此是四棱錐的高，再代入體積公式即可.

試題解析:（1）連接，令與交于點，連接，因為點是中點，

∴且.

又∵且，

∴且，∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又∵平面，平面，∴.

∵四邊形為正方形，∴.

∵，

∴平面，

∴平面.

（2）∵平面，平面，

∴平面平面，

又∵，

∴平面，∴是四棱錐的高，

∵，

∴，

∴四棱錐的體積.