Question

3．若函數f（x）=x³-mx²-x+5在區間（0，1）內單調遞減，則實數m的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系進行求解即可．

解答 解：函數的導數f′（x）=3x²-2mx-1，
若函數f（x）=x³-mx²-x+5在區間（0，1）內單調遞減，
則f′（x）=3x²-2mx-1≤0在區間（0，1）上恒成立，
即3x²-1≤2mx，
則2m≥$\frac{3{x}^{2}-1}{x}$=3x-$\frac{1}{x}$，
設g（x）=3x-$\frac{1}{x}$，則函數g（x）在（0，1]上為增函數，
則g（x）＜g（1）=3-1=2，
則2m≥2，
則m≥1，
即實數m的取值范圍是[1，+∞），
故答案為：[1，+∞）

點評 本題主要考查函數單調性的應用，根據函數單調性和導數之間的關系轉化為f′（x）≤0恒成立，利用參數分離法是解決本題的關鍵．