Question

8．若x∈（0，$\frac{1}{2}$]時，恒有4^x＜log_ax，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $（1，\sqrt{2}）$
• D． $\sqrt{2}，2）$

Answer 1

分析 當0＜x≤$\frac{1}{2}$時，不等式4^x＜log_ax恒成立，化為在0＜x≤$\frac{1}{2}$時，y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，在同一坐標系中，分別畫出指數和對數函數的圖象，分析可得答案．

解答 解：當0＜x≤$\frac{1}{2}$時，函數y=4^x的圖象如圖所示；
若不等式4^x＜log_ax恒成立，則
y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方（如圖中虛線所示）
∵y=log_ax的圖象與y=4^x的圖象交于（$\frac{1}{2}$，2）點時，
a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故虛線所示的y=log_ax的圖象對應的底數a應滿足$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1．
故選：B．

點評 本題以指數函數與對數函數圖象與性質為載體考查了函數恒成立問題，其中熟練掌握指數函數和對數函數的圖象與性質是解題的關鍵．