Question

過(guò)點(diǎn)A（0，a）作直線與圓（x-2）²+y²=1順次相交于B、C兩點(diǎn)，在BC上取滿足BP：PC=AB：AC的點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）證明不論a取何值，軌跡恒過(guò)一定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由BP：PC=AB：AC及定比分點(diǎn)知識(shí)寫出P點(diǎn)坐標(biāo)和BC坐標(biāo)的聯(lián)系式，再聯(lián)立直線AB和圓的方程，利用韋達(dá)定理解決即可；
（2）由（1）知，所求軌跡方程為直線，直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，只要令a的系數(shù)為0即可．

解答：解：設(shè)B（x₁，x₂），C（x₂，y₂），P（x，y）
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

BP

PC

=

AB

AC

= 

x1

x2

所以x=

x1+x2

1+λ

=

x1+ x1 x2 x2

1+ x1 x2

=

2x1x2

x1+x2

①
設(shè)AB：y=kx+a，代入圓的方程得：
（1+k²）x²+2（ak-2）x+a²+3=0
所以

x1+x2= 2(2-ak) 1+k2 x1x2= a2+3 1+ k2

代入①得：x=

a2+3

2-ak

由y=kx+a代入消去k，有2x-ay-3=0
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AB

AC

＞0，所以點(diǎn)P在已知圓內(nèi)，
所以所求軌跡方程為2x-ay-3=0（|a|＞2

3

）．
（2）2x-ay-3=0表示直線，當(dāng)y=0時(shí)，x=

3

2

，與a無(wú)關(guān)，
故不論a取何值，軌跡恒過(guò)一定點(diǎn)（

3

2

，0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查定比分點(diǎn)、求軌跡方程等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．