Question

(理)如圖,已知四棱錐S—ABCD的底面是邊長為4的正方形,S在底面上的射影O落在正方形ABCD?內,且O到AB、AD的距離分別為2和1.

(1)求證:是定值.

(2)已知P是SC的中點,且SO=3,問在棱SA上是否存在一點Q,使異面直線OP與BQ所成的角為90°?若存在,請給出證明,并求出AQ的長;若不存在,請說明理由.

(文)如圖,在四棱錐S—ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,點E為AB的中點,點F為SC的中點.

(1)求證:EF⊥CD;

(2)求證:平面SCD⊥平面SCE.

Answer 1

(理)(1)證明:在△SDC內,作SE⊥CD交CD于E,連結OE.                       

∵SO⊥平面ABCD,∴SO⊥CD.

∴CD⊥平面SOE.

∴CD⊥OE.

∴OE∥AD.

∴DE=1,從而CE=3.                                                         

cos∠SCD==12,

∴是定值.                                                        

(2)解:以O為坐標原點,以OS所在直線為Oz軸，以過O且平行于AD的直線為Ox軸，以過O且平行于AB的直線為Oy軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.                

于是,A(2,-1,0)、B(2,3,0)、C(-2,3,0)、S(0,0,3)、P(-1,).                        

設點Q(x,y,z),則存在λ使(這是關鍵!將點的坐標用一個變量表示),

即(x-2,y+1,z)=λ(-2,1,3),

得即                                            

令=(-1,)·(-2λ,λ-4,3λ)=8λ-6=0,得λ=.                             

由0＜λ＜1,知點Q在棱SA上，且Q(),.       

(文)證明:(1)如圖,連結AC、AF、BF、EF,

∵SA⊥平面ABCD,

∴AF為Rt△SAC斜邊SC上的中線.

∴AF=SC.                                                               

又∵ABCD是正方形,

∴CB⊥AB.

而由SA⊥平面ABCD,得CB⊥SA.

∴CB⊥平面SAB.

∴CB⊥SB.

∴BF為Rt△SBC斜邊SC上的中線.

∴BF=SC.                                                               

∴△AFB為等腰三角形,EF⊥AB.

又CD∥AB,

∴EF⊥CD.                                                                

(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE,

∴SE=EC,即△SEC是等腰三角形.

∴EF⊥SC.                                                               

又∵SC∩CD=C,∴EF⊥平面SCD.

又EF平面SCE,

∴平面SCD⊥平面SCE.