Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，直線l經過點P（3，

2

）及雙曲線

x2

3

-y2=1的右焦點F．
（1）求直線l的方程；
（2）如果一個橢圓經過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標準方程；
（3）若在（1）、（2）情形下，設直線l與橢圓的另一個交點為Q，且

PM

=λ

PQ

，當|

OM

|最小時，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）確定雙曲線的右焦點坐標，利用兩點式，可求方程；
（2）設出橢圓的標準方程，利用焦點坐標及點P在橢圓上，求出幾何量，即可得到橢圓的標準方程；
（3）直線方程，代入橢圓方程，求出Q的坐標，進而可

PQ

，

OM

的坐標，求模長，利用配方法求最值，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意雙曲線

x2

3

-

y2

1

=1的右焦點為F（2，0）
∵直線l經過點P（3，

2

），F（2，0）
∴根據兩點式，得所求直線l的方程為

y-0

2 -0

=

x-2

3-2

即y=

2

（x-2）．
∴直線l的方程是y=

2

（x-2）．
（2）設所求橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵一個焦點為F（2，0）
∴c=2，即a²-b²=4  ①
∵點P（3，

2

）在橢圓上，
∴

9

a2

+

2

b2

=1 ②
由①②解得a²=12，b²=8
所以所求橢圓的標準方程為

x2

12

+

y2

8

=1；
（3）由題意，直線方程代入橢圓方程可得x²-3x=0
∴x=3或x=0
∴y=

2

或y=-2

2

∴Q（0，-2

2

）      
∴

PQ

=(-3，-3

2

)
∴

PM

=λ

PQ

=(-3λ，-3

2

λ)，
∴

OM

=

OP

+

PM

=(3-3λ，

2

-3

2

λ)
∴|

OM

|=

(3-3λ)2+( 2 -3 2 λ)2

=

27λ2-30λ+11

=

27(λ- 5 9 )2+ 8 3

∴當λ=

5

9

時，|

OM

|最小．

點評：本題考查直線與橢圓的方程，考查向量知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．