Question

已知拋物線：，焦點為，其準線與軸交于點；橢圓：分別以為左、右焦點，其離心率；且拋物線和橢圓的一個交點記為．

（1）當時，求橢圓的標準方程；

（2）在（1）的條件下，若直線經過橢圓的右焦點，且與拋物線相交于兩點，若弦長等于的周長，求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1)當時,F(1,0),F(-1,0) 設橢圓的標準方程為(＞＞0),

∴=1,=  ∵,∴=2,= 

故橢圓的標準方程為=1.------ ---4分

 (2) (ⅰ)若直線的斜率不存在，則：=1，且A（1，2），B（1，-2），∴=4

又∵的周長等于=2+2=6

∴直線的斜率必存在.-----6分

ⅱ）設直線的斜率為，則：由，得

∵直線與拋物線有兩個交點A，B

∴，且

設

則可得，                 …………………8分

于是==

=

= 

=                                       …………10分

∵的周長等于=2+2=6

∴由=6，解得=

故所求直線的方程為.

【解析】略