Question

【題目】設橢圓的離心率，拋物線的焦點恰好是橢圓的右焦點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點作兩條斜率都存在的直線，設與橢圓交于兩點，與橢圓交于兩點，若是與的等比中項，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出拋物線的焦點可得，再根據離心率求得，從而可得，進而可得結果；（2）先利用勾股定理證明，可設直線，直線，分別與橢圓方程聯立，根據韋達定理，兩點間距離公式求得 ，化為，利用基本不等式求解即可.

（1）依題意得橢圓C的右焦點F的坐標為，即，

又，

所以，，故橢圓C的標準方程為.

（2）因為是與的等比中項，

所以，即，

所以直線，

又直線，的斜率均存在，

所以兩直線的斜率都不為零，

故可設直線，直線，

，，，，

由消去x，得，

所以，

同理得,

所以，

,

,

又，所以

（當且僅當時取等號），

故的最小值為.